AI论技｜多边形意为分割与图纸中的拓扑特征认知

修建自由空间的。

对于一个方正的矩形的房间，我们不希望将其一分为二转成两个直角新月形形来处置，而是希望只能以整个矩形的形态来处置。这时我们只能考虑三角形重组方式。

「三角形重组」

△一个穿孔五边形一分为二的例子，其之外加进了 Steiner 点

三角形重组的一般是如此一来将五边形一分为二转成穿孔三角形。相比于新月形剖分，穿孔三角形剖分格外为困难，这种困难一方面在于相比于新月形剖分，三角形剖分当中的穿孔形保证是一个新的疑虑，另一方面在于三角形剖分根本无法并不相同一个好的要能。

在实践处置过程当中，我们一般不时会像新月形剖分疑虑当中的 Delaunary 新月形剖分方式一样求得一个一般意义上的五边形回收疑虑，而是只能加进额外的举例，并格外为具体既有我们对于一分为二出来的基石三角形的要求来明确疑虑边境。这是因为完全相同的举例情况下下三角形重组疑虑的学说中央线性有特别是在的不同之处。

△完全相同的五边形一般来说，从上至下从左到右南至北是 convex, monotone, star-shaped (with kernel), orthogonal, orthogonally convex, histogram, spiral, crescent, pseudotriangle 等。新月形一分为二时我们可以无视这些不同之处，但是在一般的五边形一分为二当中，这些初始形状的举例对于我们的结果和求得难度有特别是在的影响。

现有学说科学研究证明了将尖头五边形一分为二转成穿孔三角形的疑虑，以及将不太可能含孔的对偶五边形（即其相邻边对偶）一分为二转成矩形的疑虑都不属于 NP-Complete 的疑虑，这也就是说我们可以找到五边形时间段内可行的求得方式。这类方式一般是利用了 Steiner 点结合分治或者动态规画思想。反之，将含孔五边形一分为二转成穿孔三角形的疑虑是 NP 难的。

△对偶五边形一分为二相比较直观

根本无法实现巴洛克式施工绘出故事情节当中我们只能一分为二的自由空间或者部件一般都近似符合标准对偶五边形的特点，在设计倾向来说，大多数故事情节下我们时会把房间设计转成矩形，将部件视之为多个矩形段的组合。在这些故事情节下，我们可以将这些疑虑建模转成对偶五边形向矩形回收的疑虑。但是建设设计处置过程当中的不少情形下时会显现非对偶五边形形态的自由空间和部件。因此我们的回收要能也不必考虑穿孔三角形回收的情况，同时避免我们卷入含孔五边形回收到穿孔三角形的精细故事情节。一些额外的建设有助于我们简既有疑虑。例如在部件回收当中，我们可以举例回收形转成的穿孔三角形的所有立方体都确实位于原上半部上，而不确实在五边形之外加进新的点（这一举例在自由空间一分为二上则不一定转组建）。

02 子五边形分拆

在建设施工绘出定时画绘出故事情节当中，我们对自由空间和部件开展回收一般而言是从巴洛克式出发点出发，而是非纯粹地去求得一个数值拓扑学疑虑，因此我们只能将五边形回收形转成的基石元素开展重整，以形转成不具巴洛克式上下文含义，符合标准巴洛克式直觉的重组方式。

子五边形分拆并非是一个不必的处置过程。在适宜的故事情节下通过设计初始一分为二启发式就可以给予预期内的结果。但是这在巴洛克式自由空间和部件回收的处置过程当中一般而言是一种奢望。如此一来持续性地设计一分为二启发式处置过程根本无法如此一来贯彻我们对分所求结果的要求，其执行处置过程也受到极多 Corner case 的不良影响。因此我们一般而言换用初始一分为二 最细小的块然后开展分拆的方式。

一分为二形转成的子五边形分拆疑虑是一个组合构建疑虑，我们有很多现转成的运筹学工具箱可以开展求得，包括启发式启发式，混和整形规画以及机器学习等方式。利用这些方式的核心疑虑是如何量既有地度量一个一分为二建议的好坏。这种度量方式只能结合故事情节来开展具体来说的设计。例如在部件回收当中，我们希望一分为二消除的五边形确实尽不太可能是矩形，而且一分为二消除的块就格外少就越好的；在自由空间回收当中，消除尽不太可能少的分块的思想则不一定是确实的。例如在下面的自由空间处置过程当中，我们可以利用基石一分为二启发式消除最基石的矩形子块组转成（上绘出）， 共计四个组块。若按照最少一分为二数量的法理，开展基石子块的分拆，那么时会给予当中绘出的结果。从自由空间本质角度来说，这个一分为二建议看来无法绘出表当中的建议好，因为绘出表当中的建议出彩了自由空间出绘出，将自由空间的两个零碎部分回收下来。

针对这种故事情节，我们可以换用 Minimum Ink，或者说最短一分为二中央线的长度，以最大者既有一分为二中央线的长度为要能，我们可以在当中绘出和绘出表当中遴选出绘出表作为最优既有所求。事实上，在对偶五边形上实现 Minimum ink 切割是一个 P 疑虑，我们可以找到时间段中央线性是O(n4) 的一分为二方式。如果五边形上显现孔，则疑虑演变转成 NP -Complete 疑虑。如果进一步将疑虑前提一般既有，则疑虑的中央线性就向 NP-hard 持续发展。

△筑绘通当中部件回收的效果

简述

本文我们着重总结上半部五边形一分为二疑虑的在巴洛克式施工绘出定时绘制故事情节当中的呈现。五边形一分为二方式在筑绘通广泛应用软件当中发挥着基石行动作用，基于有效的一分为二我们才能有效的确立起自由空间、部件以及格外精细部件的形状结构和拓扑联系，格外是后续我们开展部件摆放，连中央线摆设以及实例数值的重要基石。

参考文献：

[1] Polygon Decomposition by J.Mark Keil

[2] Everett H, Lenhart W, Overmars M, et al. Strictly convex quadrilateralizations of polygons[C]//Proceedings of the 4th Canadian Conference on Computational Geometry. 1992: 77-83.

[3] O'Rourke J, Supowit K. Some NP-hard polygon decomposition problems[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1983, 29(2): 181-190.

[4] Handbook of discrete and computational geometry[M]. CRC press, 2017.

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